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例谈初中数学常见的几种"将军饮马"模型应用问题

发表时间：2020/7/28 来源：《中小学教育》2020年2月第6期作者：杨玉洁

[导读] 近年来，饮马问题逐渐成为中考热门考点之一，并作为压轴题出现在中考数学试卷最后一题的位置上。

        近年来，饮马问题逐渐成为中考热门考点之一，并作为压轴题出现在中考数学试卷最后一题的位置上。想要解决将军饮马问题需要学生具有灵活的思维和较强的综合知识，从本质来看将军饮马问题所要解决的是确定动点和直线的位置，并且使得线段和最小，但是将军饮马问题的考察形式十分丰富，可以与很多问题相结合。本文旨在通过化折为直的思想，利用轴对称求线段的极值问题。
        　关键词：将军饮马；化折为直；轴对称
        　一、研究背景
        将军饮马问题让很多学生既兴奋又头疼，兴奋的是这个问题源于古罗马，是一个很有趣的历史问题，当然在我国古代《古从军行》当中也有这一问题的描述。头疼的地方在于，很多学生不能理解这一问题的本质，只要问题稍微进行变化就难以理解。将军饮马问题在古代是影响战争效率的一个重要问题，放在现在是考试的重点知识，因此下面就对本例题的基本形式进行阐述。

        关于将军饮马的典故，在这里就不再重复，图一展示的就是将军饮马的数学问题，即在河流当中寻找一个动点，让其到A和B的距离最小。面对这一问题很多学生都能够想到对称知识，能够找到河流当中的点。如图2所示。将L当作河流，A点与B点是在河流L同侧，想要找到最短的点，只要利用对称思想，在河流对侧寻找一点即可，做A点关于直线L的对称点A’,连接A’与B点与直线L交于P点。此时连接AP与BP，则AP+BP的线段和最小。这一模型是该类“将军饮马”变型题的基础，下面就这一问题在考试当中的变化形式进行一些探讨。

        　二、实例研究
        　2.1饮马问题在平行线中的应用
        如图3所示，已知直线 ∥ ，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ = ，在直线上有一动点 A，直线上有一动点 B，满足 AB ⊥ ，并且 PA 、AB 、BQ 三条线段的和最小，问当三条线段和最小时 PA与BQ 之和为多少．

        解题思路：如图4所示，过直线L做P的垂直线于A’，在直线处交于B’，在PB’上选取线段PP’等于两条直线间的距离8，连接P’点和Q点使其交直线于点B，做交直线于点A，过Q点做于点Q’，则有上述可得线段P’B’的长度等于线段PA’的长度等于6，线段B’Q’的长度等于4。由图可知四边形ABP’P是平行四边形，故线段PA的长度等于线段P’B的长度。在这种情况下PA、PB、PQ的线段和等于8+PA+BQ的线段和等于8+P’Q最小。有两点之间直线最短可知，在中,故,则
        推理：本题中由平行线引出，虽然题目不难，但是考察的知识较为丰富。在本题中，可将题化为两个定点，一个动点，定点之间进行连线，让动点处于连线上，从而将动点的位置进行固定。
        　2.2饮马问题在三角形中的应用
        如图4，在中，假设AC的长度为6米，BC的长度为8米，AD是顶角的平分线，E和F是两个移动点，如何求出CE和EF之和的最小值。

        解题思路：如图5所示，过点C作CGAD交AB于点G，由题意知AD平分交BC于D点可知线段AD垂直平分CG，由图可知CE=GE，过G点CFAC于点F，交线段AD于点E，此时CE+EF=GE+EF=GF最小。
        在中，由题意AC=6,BC=8，则由勾股定理可知AB=10。由题意可知,故,由此可知,故线段CE+EF的最小值为。
        推理：这一道题目相比较基础题目来说已经具备了一定的难度，如果不进行提示很多学生想不到将军饮马问题还可以这样考察。同时也要求学生能够熟记平分角和相似三角形的相关知识，将其简化为一定点两动点两定直线模型，利用勾股定理和线段最短的定理求解。
        　三、研究结论
        解决本类问题要以不变应万变，在变化中分解图形，抓住不变的特征，“找准一条线，寻找两个点”，然后寻找两个点的对称点，与“将军饮马”的几种基本模型对接，实现“折”转“直”，甚至“三 ( 多) 折线”转“直”。问题的解决就是利用转化化归思想，能够将知识转化成图形，同时教师要强调精准训练，以求达到做一题、会一类、通一片之功效。由于饮马问题的载体比较多元化，解决方法多种多样，因此需要学生对所学的知识进行灵活调动，是对学生综合能力的一次考验，因而会对部分学生造成解题困难。

          参考文献

        [1]曹俊玲. 初中“最短路径问题”课题学习的教学研究[D].广州大学,2019.

        [2]李思佳. 初中数学“综合与实践”活动课的教学设计与实践研究[D].沈阳师范大学,2019.